非奇异性的判别式判据

点 $(x_0,y_0)$ 是奇异点当且仅当 $F=y^2-x^3-ax-b=0$、$\partial F/\partial y = 2y_0 = 0$、$\partial F/\partial x = -3x_0^2-a=0$ 同时成立。第二式迫使 $y_0=0$,故 $x_0$ 必须是 $x^3+ax+b$ 的根;第三式迫使 $3x_0^2+a=0$,即 $x_0$ 也是导数 $3x^2+a$ 的根。一个多项式与其导数有公共根,恰好发生在该多项式的重根处,故 $E$ 奇异当且仅当 $x^3+ax+b$ 有重根。既约三次式 $x^3+ax+b$ 的经典判别式为 $-4a^3-27b^2$,恰好在三次式有重根时为零;乘以规范化常数 $-16$ 得 $\Delta = -16(4a^3+27b^2)$,所以 $E$ 非奇异当且仅当 $\Delta \neq 0$。