欧拉法的整体误差界

把一步中产生的局部误差写成用泰勒展开推进的精确解与欧拉更新之差。泰勒定理给出对某个介于$t_n$与$t_{n+1}$之间的$\xi_n$有$y(t_{n+1}) = y(t_n) + h f(t_n, y(t_n)) + \frac{h^2}{2} y''(\xi_n)$成立,于是局部截断误差为$\tau_n = \frac{h^2}{2} y''(\xi_n)$,由假设$|y''(t) | \le M$可知它被$\frac{h^2 M}{2}$所界定。

从这个精确的泰勒展开中减去欧拉更新$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$。记$e_n = y(t_n) - y_n$,两边之差给出$e_{n+1} = e_n + h\left[f(t_n, y(t_n)) - f(t_n, y_n)\right] + \tau_n$。利普希茨条件把方括号中的项界定为$L|e_n|$,于是$|e_{n+1}| \le (1+hL)|e_n| + \frac{h^2 M}{2}$。

由于$e_0 = 0$(初值是精确的),用归纳法展开这个递推式,利用等比数列求和公式得到$|e_n| \le \frac{h^2M}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(1+hL)^k = \frac{hM}{2L}\left[(1+hL)^n - 1\right]$。最后,由于对任意实数$x$都有$1+x\le e^x$,所以$(1+hL)^n \le e^{Lhn} = e^{L(t_n-t_0)}$,这就把上界变成了$|e_n| \le \frac{hM}{2L}\left(e^{L(t_n-t_0)}-1\right)$——恰好是所要证明的不等式,并且当$t_n$固定时显然是$O(h)$。