二项随机变量的期望

记 $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$,其中 $X_i$ 在第 $i$ 次试验成功时为 $1$,否则为 $0$。每个 $X_i$ 都是伯努利随机变量,满足 $P(X_i=1)=p$,$P(X_i=0)=1-p$,因此其期望为 $E[X_i] = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$。

无论各随机变量是否独立,期望对任意随机变量都具有线性性:$E[X_1+X_2+\cdots+X_n] = E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n]$。这一线性性直接来自期望作为加权和的定义,因为求和与加权求和总是可以重新排列的。

把线性性用于 $X = X_1+\cdots+X_n$,得到 $E[X] = E[X_1]+\cdots+E[X_n] = \underbrace{p+p+\cdots+p}_{n \text{ times}} = np$,恰好就是所要证明的公式。