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定理已证明

不动点迭代的收敛性

命题陈述

设 g:[a,b]→[a,b]g:[a,b]\to[a,b] 连续可微,且对一切 x∈[a,b]x\in[a,b] 都有 ∣g′(x)∣≤L<1|g'(x)| \le L < 1。则 gg 在 [a,b][a,b] 内有唯一不动点 rr,且对任意起点 x0∈[a,b]x_0 \in [a,b],迭代 xn+1=g(xn)x_{n+1}=g(x_n) 收敛于 rr,并满足 ∣xn−r∣≤Ln∣x0−r∣|x_n - r| \le L^n |x_0 - r|。

为什么成立?

斜率的绝对值小于一意味着每次施加 g 都会使各点彼此更靠近,因此无论从哪里出发,反复的压缩都必然使整个区间坍缩到同一个点。

证明思路

第一步(用介值定理证明存在性)。设 h(x)=g(x)−xh(x)=g(x)-x。由 g(a)∈[a,b]g(a)\in[a,b] 得 g(a)≥ag(a)\ge a,即 h(a)≥0h(a)\ge0;同理由 g(b)≤bg(b)\le b 得 h(b)≤0h(b)\le0。由于 hh 连续,介值定理给出某个 rr 使得 h(r)=0h(r)=0,即 g(r)=rg(r)=r:不动点存在。

第二步(用中值定理证明唯一性)。设 r1,r2∈[a,b]r_1,r_2\in[a,b] 都是不动点且 r1≠r2r_1\ne r_2。中值定理给出二者之间某个 cc 使 g(r1)−g(r2)=g′(c)(r1−r2)g(r_1)-g(r_2) = g'(c)(r_1-r_2);由 g(r1)=r1g(r_1)=r_1 与 g(r2)=r2g(r_2)=r_2,这可写成 r1−r2=g′(c)(r1−r2)r_1-r_2 = g'(c)(r_1-r_2),故 ∣r1−r2∣=∣g′(c)∣ ∣r1−r2∣≤L ∣r1−r2∣|r_1-r_2| = |g'(c)|\,|r_1-r_2| \le L\,|r_1-r_2|。由于 L<1L<1 且 ∣r1−r2∣>0|r_1-r_2|>0,这产生矛盾,故 r1=r2r_1=r_2。

第三步(每一步都收缩)。对任意 xn∈[a,b]x_n\in[a,b],对 g(xn)−g(r)g(x_n)-g(r) 应用中值定理:存在 xnx_n 与 rr 之间的某个 cnc_n 使 g(xn)−g(r)=g′(cn)(xn−r)g(x_n)-g(r) = g'(c_n)(x_n-r)。由 g(r)=rg(r)=r 与 xn+1=g(xn)x_{n+1}=g(x_n),左边即为 xn+1−rx_{n+1}-r,故 ∣xn+1−r∣=∣g′(cn)∣ ∣xn−r∣≤L ∣xn−r∣|x_{n+1}-r| = |g'(c_n)|\,|x_n-r| \le L\,|x_n-r|。

第四步(反复施加收缩)。从 n=0n=0 开始反复应用第三步,得 ∣x1−r∣≤L∣x0−r∣|x_1-r|\le L|x_0-r|,再得 ∣x2−r∣≤L∣x1−r∣≤L2∣x0−r∣|x_2-r|\le L|x_1-r|\le L^2|x_0-r|,归纳可得对一切 nn 都有 ∣xn−r∣≤Ln∣x0−r∣|x_n - r| \le L^n |x_0 - r|。由于 0≤L<10\le L<1,当 n→∞n\to\infty 时右边趋于 00,从而证明 xn→rx_n\to r。

用到此定理的主题

方程的近似解法

分步证明

该定理暂无分步证明。