散度定理(高斯定理)

首先对长方体 $B = [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times[a_3,b_3]$、$V = B$ 的情形证明,其中 $\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3)$。由富比尼定理,$\iiint_B \frac{\partial F_1}{\partial x}\,dV = \iint \left(F_1(b_1,y,z) - F_1(a_1,y,z)\right) dy\,dz$,对 $y$、$z$ 方向的导数项也有类似等式。

每个右边恰好是 $\mathbf{F}$ 相应分量穿过 $B$ 一对相对面的外向通量,每个面上外法向沿坐标轴正方向或负方向。把三个坐标方向的贡献相加,得到 $\iiint_B (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \iint_{\partial B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$。

对于一般的立体区域 $V$,用填满 $V$ 的细密小长方体网格来逼近它。对每个小盒应用长方体情形的结果,再对所有小盒求和。任意两个相邻小盒共享的内部面,两侧的外法向方向恰好相反,因此穿过该公共面的相应通量贡献完全抵消。

抵消之后剩下的通量恰好穿过外边界曲面 $\partial V$,而小盒上体积积分之和随着网格加密收敛到 $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV$,从而确立了 $V$ 上的等式。