格林定理

首先对矩形 $R = [a,b]\times[c,d]$、$D = R$ 的情形证明。由富比尼定理,$\iint_R \frac{\partial Q}{\partial x}\,dA = \int_c^d \left(Q(b,y) - Q(a,y)\right) dy$,且 $\iint_R \frac{\partial P}{\partial y}\,dA = \int_a^b \left(P(x,d) - P(x,c)\right) dx$。

这两式恰好分别是 $Q\,dy$ 沿 $R$ 右边与左边的线积分以及 $P\,dx$ 沿上边与下边的线积分,所以 $\iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA = \oint_{\partial R} (P\,dx + Q\,dy)$,与矩形情形下的定理相符。

对于一般区域 $D$,用覆盖 $D$ 的细密小矩形网格来逼近它。对每个小块应用矩形情形的结果,再对所有小块求和。任意两个相邻小块共享的内部边,会被这两块各自的边界分别沿相反方向经过一次,因此沿该公共边的两项线积分贡献恰好完全抵消。

抵消之后剩下的正是沿外边界 $\partial D$ 的线积分,而小矩形上二重积分之和随着网格加密收敛到 $\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$,从而证明了 $D$ 上的等式。