格林–陶定理

第一步(障碍)。冯·芒戈尔特函数 $\Lambda(n)$(当 $n=p^j$ 时等于 $\log p$,否则为0)是检测素数的自然权重,平均大小为 $\mathbb{E}[\Lambda] \approx 1$。但 $\Lambda$ 本身无界,且 $\mathcal{P}$ 密度为0,因此没有经典密度定理可以直接应用于它。

第二步(伪随机优函数)。借助 Goldston–Yıldırım 型筛权重的思想,Green 与 Tao 构造出一个测度 $\nu(n) \ge 0$(满足 $\mathbb{E}[\nu] \approx 1$),它对某常数 $K$ 满足 $\Lambda(n) \le K\nu(n)$ 从而支配素数,并且是伪随机的:它满足与同密度真随机集合所应满足的线性形式条件与相关条件相一致的精确条件。

第三步(相对塞迈雷迪定理)。Green 与 Tao 证明:只要 $\nu$ 是伪随机的,任何满足正相对密度 $\mathbb{E}[f] \ge \delta$ 的函数 $0 \le f \le \nu$ 仍然包含预期密度的长度为 $k$ 的数列。证明将 $f$ 分解为一个有界的结构化部分,加上一个相对于 $\nu$ 在高尔斯一致性范数下很小的部分;由广义冯·诺依曼定理,均匀部分对数列计数的贡献可忽略不计,因此结构化部分本身就必须解释预期的数列——这与塞迈雷迪定理经典的超图正则化证明完全类似,只是相对于 $\nu$ 做了相对化处理。

第四步(汇总)。验证 Goldston–Yıldırım 型的 $\nu$ 确实是伪随机的(用标准的素数计数估计检验线性形式条件与相关条件),使得第三步可应用于 $f = \Lambda / K$,由于 $\mathbb{E}[\Lambda] \approx 1$ 它具有正相对密度。这给出了由 $\Lambda$ 加权的长度为 $k$ 的数列的正相对密度,因此——在去除素数幂带来的可忽略贡献后——对任意 $k$ 都得到一个真正的长度为 $k$ 的素数等差数列。