部分分式给出比内公式

分解分母:由于 $1-x-x^2=0$ 的根是 $x=1/\varphi$ 与 $x=1/\psi$,故有 $1-x-x^2=(1-\varphi x)(1-\psi x)$。

把 $\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{A}{1-\varphi x}+\frac{B}{1-\psi x}$ 写成含常数 $A,B$ 的形式。通分并比较常数项与 $x$ 的系数,得到一个线性方程组,解得 $A=\frac{1}{\sqrt5}$,$B=-\frac{1}{\sqrt5}$,于是 $\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{1-\varphi x}-\frac{1}{1-\psi x}\right)$。

把每一项展开为等比级数:$\frac{1}{1-\varphi x}=\sum_{n\ge0}\varphi^nx^n$,$\frac{1}{1-\psi x}=\sum_{n\ge0}\psi^nx^n$。

比较两边 $x^n$ 的系数即得公式 $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n-\psi^n\right)$,称为比内公式。