哈塞界

考虑弗罗贝尼乌斯自同态 $\varphi: E(\overline{\mathbb{F}_p}) \to E(\overline{\mathbb{F}_p})$,$\varphi(x,y) = (x^p, y^p)$。它的不动点恰好是 $E(\mathbb{F}_p)$,并且可以证明 $\#E(\mathbb{F}_p) = \deg(\varphi - 1) = p+1-t$,其中 $t = \varphi + \hat\varphi$ 是弗罗贝尼乌斯作用在自同态环上的迹。$E$ 的自同态上的次数映射是一个正定的整值二次型(对一切整数 $m,n$ 满足 $\deg(m\varphi+n) \ge 0$,且仅当 $m\varphi+n=0$ 时取等),而 $\deg\varphi = p$。将 $\deg(m\varphi+n) = m^2 p + mnt + n^2 \ge 0$ 作为关于 $m,n$ 的二次型展开,其判别式必须非正:$t^2 - 4p \le 0$,即 $|t|\le 2\sqrt p$。由于 $\#E(\mathbb{F}_p) - (p+1) = -t$,这正是所要证明的界。