D=0 时:无解或无穷多解

前一个定理中的消元步骤并不需要 $ad-bc\neq0$:它们说明 $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ 的任何解 $(x,y)$ 都必须满足 $(ad-bc)x=ed-bf$,与 $D$ 的取值无关。当 $ad-bc=0$ 时,左边 $(ad-bc)x$ 对任意 $x$ 都等于 $0\cdot x=0$,于是这个必要方程退化为数值命题 $0=ed-bf$。

**情形 $ed-bf\neq0$（无解）。** 此时命题 $0=ed-bf$ 简单地为假,与 $x$ 和 $y$ 无关。由于方程组的任何解都必须使这个假命题成立,所以不可能存在解。从几何上看,两个方程描述的是斜率相同(因为 $D=0$)但截距不同的直线,即两条平行且不相交的直线。

**情形 $ed-bf=0$（无穷多解）。** 此时必要方程是真但空洞的命题 $0=0$,消去y没有给出任何信息——对任何 $x$ 它都自动成立。具体来说,由于 $D=ad-bc=0$ 且 $(a,b)\neq(0,0)$,存在常数 $k$ 使 $c=ka$、$d=kb$(第二个方程的x、y系数与第一个成比例);再结合 $ed-bf=0$ 可得 $f=ke$,于是第二个方程 $cx+dy=f$ 恰好就是第一个方程 $ax+by=e$ 的 $k$ 倍。满足第一个方程的每个点 $(x,y)$ 自动满足第二个方程(把第一个方程乘以 $k$ 即可),因此整条直线 $ax+by=e$——无穷多个点——都是方程组的解。