贝祖定理

设$F(x,y,z)$与$G(x,y,z)$分别为定义$C_1$与$C_2$的次数为$d_1 = \deg(C_1)$与$d_2 = \deg(C_2)$的齐次多项式。选取射影坐标,使得点$[0:1:0]$不在任一曲线上,并且没有两个交点位于穿过$[0:1:0]$的同一条$[x:z]$-直线上。

将$F$与$G$视为以$(x,z)$的齐次多项式为系数的单变量$y$的多项式。它们的西尔维斯特结式$R(x,z) = \operatorname{Res}_y(F, G)$是关于$(x,z)$的非零齐次多项式(由于$F$与$G$无公因式而必非零),对西尔维斯特矩阵做齐次性计算可知$R(x,z)$的次数恰好为$d_1 d_2$。

在代数闭域$k$上,任何次数为$d_1 d_2$的二元齐次多项式按重数计算都完全分解为$d_1 d_2$个线性形式。每个线性因子对应于一条穿过$[0:1:0]$且包含$F$与$G$公共零点的直线,该因子的重数与该点处的局部相交重数$\dim_k \mathcal{O}_{P}(C_1 \cap C_2)$一致,从而给出总数$\left| C_1 \cap C_2 \right| = \deg(C_1) \cdot \deg(C_2)$。