希尔伯特零点定理

先概述弱形式:若$J$是$k[x_1,\ldots,x_n]$的真理想,则$V(J)$非空。取一个包含$J$的极大理想$\mathfrak{m}$;商$k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m}$是一个域,并且是有限生成的$k$-代数。扎里斯基引理指出$k$的任何这样的域扩张都是$k$的有限代数扩张;由于$k$是代数闭域,这就迫使$k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m} = k$。$x_1,\ldots,x_n$在此商映射下的像给出一点$a \in k^n$,对每个$g \in J$都有$g(a)=0$,于是$a \in V(J)$。

对于强形式$I(V(J)) = \sqrt{J}$,包含关系$\sqrt{J} \subseteq I(V(J))$是显然的:若$f^r \in J$,则$f$在$J$的每个元素都取零之处也取零。反向包含使用拉比诺维奇技巧:为证明$f \in I(V(J))$蕴含$f \in \sqrt{J}$,引入新变量$y$,在$k[x_1,\ldots,x_n,y]$中考虑由$J$连同$1 - yf$生成的理想。

这个扩大的理想零点集为空(任何公共零点都要求$J$的每个生成元取零,从而$f$在那里也取零,这与$1-yf=0$矛盾)。由刚证明的弱形式,这个扩大的理想必须是整个环,于是$1$可以写成生成元的多项式组合。代入$y = 1/f$并消去分母,就得到一个显式表达式,表明某个幂$f^r$属于$J$,这正是$f \in \sqrt{J}$。