卡拉西奥多里定理

取项数$k$最小的表示$x = \sum_{i=1}^{k} \lambda_i x_i$,其中$x_i \in S$,$\lambda_i > 0$,且$\sum_{i=1}^{k} \lambda_i = 1$。我们断言$k \le d + 1$。

反证假设$k \ge d + 2$。则$\mathbb{R}^d$中的$k - 1 \ge d + 1$个差向量$x_2 - x_1, x_3 - x_1, \ldots, x_k - x_1$线性相关,故存在不全为零的标量$\mu_2, \ldots, \mu_k$使得$\sum_{i=2}^{k} \mu_i (x_i - x_1) = 0$。令$\mu_1 = -\sum_{i=2}^{k} \mu_i$,便得到$\sum_{i=1}^{k} \mu_i x_i = 0$且$\sum_{i=1}^{k} \mu_i = 0$,并且至少有一个$\mu_i > 0$。

对任意实数$t$,都有$x = \sum_{i=1}^{k} (\lambda_i - t \mu_i) x_i$且系数之和仍为$1$。取$t = \min_{\mu_i > 0} (\lambda_i / \mu_i) > 0$;此时每个新系数$\lambda_i - t \mu_i$都非负,且至少有一个变为$0$,从而将$x$表为$S$中至多$k - 1$个点的凸组合,与$k$的最小性矛盾。