闵可夫斯基凸体定理

考虑缩小一半的凸体$\frac{1}{2} K = \{\, x / 2 : x \in K \,\}$。在$d$维空间中缩放会使体积乘以$2^{-d}$,因此假设$\operatorname{vol}(K) > 2^d \det(\Lambda)$变为$\operatorname{vol}(\frac{1}{2} K) > \det(\Lambda)$。

设$F$是$\Lambda$的基本平行多面体,使得$\mathbb{R}^d = \bigsqcup_{v \in \Lambda} (F + v)$且$\operatorname{vol}(F) = \det(\Lambda)$。将$\frac{1}{2} K$切成碎片$A_v = (\frac{1}{2} K) \cap (F + v)$,再通过$B_v = A_v - v \subseteq F$将每块碎片平移回$F$中。由于所有$B_v$的体积之和等于$\operatorname{vol}(\frac{1}{2} K) > \operatorname{vol}(F)$,这些集合$B_v$不可能两两不相交(布利希费尔特原理)。

在$\Lambda$中取不同的格向量$u \neq v$使得$B_u \cap B_v \neq \emptyset$。于是存在两个不同的点$p, q \in \frac{1}{2} K$满足$p - u = q - v$,故$p - q = u - v \in \Lambda \setminus \{0\}$。由$p, q \in \frac{1}{2} K$知$2p, 2q \in K$;由$K$的中心对称性得$-2q \in K$,再由$K$的凸性知中点$\frac{1}{2}(2p) + \frac{1}{2}(-2q) = p - q$属于$K$。因此$p - q$就是$K \cap (\Lambda \setminus \{0\})$中的非零格点。