选排公式定理

第一步(设置位置):把要填的 $k$ 个位置依次记为位置1到位置 $k$。用 $n$ 个对象之一填每个位置,且不重复使用已放置的对象,这是一项由 $k$ 个相继步骤组成的工作。

第二步(应用乘法原理):位置1有 $n$ 种填法。填完后已用掉一个对象,所以无论位置1选了哪个对象,位置2都有 $n-1$ 种填法。依此类推,位置 $k$ 有 $n-k+1$ 种填法,因为已经用掉了 $k-1$ 个对象。由乘法原理,总数为乘积 $n(n-1)\cdots(n-k+1)$。

第三步(改写为阶乘之商):乘以再除以缺失的尾部 $(n-k)!$,得到 $n(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)\cdot (n-k)!}{(n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)!}$,这正是 $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$。

第四步(特殊情形 $k=n$):代入 $k=n$,利用 $0! = 1$ 得到 $A_n^n = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!$,恢复排列数 $P_n = n!$。