完全混沌逻辑斯蒂映射的李雅普诺夫指数等于 ln 2

第一步(共轭)。令 $x=\sin^2(\pi y)$。利用倍角公式,$4x(1-x)=4\sin^2(\pi y)\cos^2(\pi y)=\sin^2(2\pi y)$。若对倍增映射 $T(y)=2y \bmod 1$ 也令 $y' = T(y)$,则 $\sin^2(\pi y') = \sin^2(2\pi y)$ 恰好与上式右边一致,于是 $f(h(y)) = h(T(y))$,其中 $h(y)=\sin^2(\pi y)$:r = 4 处的逻辑斯蒂映射与倍增映射光滑共轭。

第二步(倍增映射的李雅普诺夫指数)。倍增映射在可微之处处处满足 $T'(y)=2$,是分段线性的,因此沿任意轨道、对任意 $n$ 都恰好有 $\tfrac1n\sum_{i=0}^{n-1}\ln|T'(y_i)| = \ln 2$——其极限显然为 $\ln 2$。

第三步(通过共轭传递指数)。对 $f(h(y))=h(T(y))$ 用链式法则求导得 $f'(h(y))h'(y)=h'(T(y))T'(y)$,即在 $x=h(y)$ 处 $\ln|f'(x)| = \ln|h'(T(y))| + \ln|T'(y)| - \ln|h'(y)|$。沿轨道 $y_0,y_1,\dots,y_{n-1}$ 求和并除以 $n$,中间项呈多米诺式相消:$\tfrac1n\sum_{i=0}^{n-1}\ln|f'(x_i)| = \ln2+\tfrac1n\big[\ln|h'(y_n)|-\ln|h'(y_0)|\big]$。

第四步(边界项趋于零)。由于 $h'(y)=\pi\sin(2\pi y)$ 有界(其大小从不超过 $\pi$),对于避开 $h'$ 可数个零点(勒贝格测度为零的集合)的任意轨道,方括号中的项 $\ln|h'(y_n)|-\ln|h'(y_0)|$ 在 $n\to\infty$ 时保持有界。有界量除以 $n$ 趋于 $0$,因此 r = 4 处逻辑斯蒂映射的李雅普诺夫指数,对几乎每个初始条件都等于 $\ln 2$。