逻辑斯蒂映射在 r = 3 处的周期倍增

第一步(求不动点)。解 $rx(1-x)=x$,即 $x[r(1-x)-1]=0$。这给出 $x=0$ 或非平凡不动点 $x^* = 1-\tfrac{1}{r}$,当 $r>1$ 时它恰好位于 $(0,1)$ 内。

第二步(线性化)。求导得 $f'(x)=r-2rx$。在非平凡不动点处求值,$f'(x^*) = r - 2r\left(1-\tfrac1r\right) = r - 2r + 2 = 2-r$,故 $f'(x^*) = 2-r$。

第三步(稳定性判据)。不动点局部稳定当且仅当 $|f'(x^*)|<1$,即 $|2-r|<1$,化简得 $1<r<3$。因此在此整个区间内 $x^*$ 都吸引附近的轨道。

第四步(r = 3 处的分岔)。恰好在 $r=3$ 处,$f'(x^*)=-1$:线性化处于临界状态。当 $r$ 略大于3时,$|f'(x^*)|>1$,$x^*$ 变为排斥点。同时,由链式法则,二次迭代映射 $f\circ f$ 在 $x^*$ 处的导数恰好在 $r=3$ 时为 $f'(x^*)^2=1$;将 $f\circ f$ 展开到更高阶可以证明,当 $r$ 增大越过3时,这个退化点分裂为 $f\circ f$ 的两个真正的新不动点(即 $f$ 的一个稳定2周期轨道)——这正是周期倍增分岔。