关于两条相交直线的两次反射的复合

首先,因为 $I$ 同时位于 $d_1$ 和 $d_2$ 上,两次反射都固定 $I$ 。取异于 $I$ 的任意点 $M$ ,并设 $M_1 = R_{d_1}(M)$ 与 $M' = R_{d_2}(M_1)$ 。

由于 $d_1$ 是 $MM_1$ 的垂直平分线,且 $d_2$ 是 $M_1M'$ 的垂直平分线,我们有 $IM = IM_1 = IM'$ ,因此 $M$ 与 $M' = R_{d_2}(M_1)$ 位于以 $I$ 为圆心的同一个圆上。

设从射线 $\overrightarrow{IM}$ 到 $\overrightarrow{Id_1}$ 的有向角为 $\varphi_1$ ,从 $\overrightarrow{Id_1}$ 到 $\overrightarrow{Id_2}$ 的有向角为 $\varphi_2$ 。关于 $d_1$ 的反射将 $\overrightarrow{IM}$ 旋转 $2\varphi_1$ 变到 $\overrightarrow{IM_1}$ ,而关于 $d_2$ 的反射将 $\overrightarrow{IM_1}$ 旋转 $2\varphi_2$ 变到 $\overrightarrow{IM'}$ 。将有向角相加可得 $(\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{IM'}) = 2\varphi_1 + 2\varphi_2 = 2(\varphi_1 + \varphi_2) = 2\alpha$ ,这与 $M$ 的选取无关。因此每个点都绕 $I$ 旋转了 $2\alpha$ ,证明了该复合等于 $Q_{(I, 2\alpha)}$ 。