定理已证明
分部积分法
命题陈述
若 u=u(x) 与 v=v(x) 在区间 K 上可导，则 ∫udv=uv−∫vdu，即 ∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx。
为什么成立?
分部积分是把乘积求导法则反过来用：它并不消去积分号，而是把导数从一个因子（v）转移到另一个因子（u）上，当 u 求导后变得更简单（例如 u=x 变成 u′=1）而 v′ 仍容易求原函数时，这正是恰当的一步——从而把像 ∫xexdx 这样困难的乘积变得容易。
证明思路
由乘积法则，(uv)′=u′v+uv′。整理得 uv′=(uv)′−u′v。
对两边（在 K 上，关于 x）取原函数。右边 (uv)′ 显然以 uv 本身为一个原函数（由唯一性定理，相差一个常数），所以 ∫uv′dx=∫(uv)′dx−∫u′vdx=uv−∫u′vdx。
记 dv=v′(x)dx、du=u′(x)dx，就得到简洁易记的形式 ∫udv=uv−∫vdu。实际操作中，选一个因子作为 u（用于求导），其余部分作为 dv（用于求原函数），通常优先对求导后会变简单的因子（多项式、对数）求导，而对仍易于求原函数的因子（ex、sinx、cosx）积分。