定理已证明
换元积分法
命题陈述
若 F 是 f 的一个原函数，且 g 可导，则 ∫f(g(x))g′(x)dx=F(g(x))+C。
为什么成立?
换元法不过是把链式法则倒过来读：对复合函数 F(g(x)) 求导，恰好产生「外层导数乘内层导数」这一模式 f(g(x))g′(x)。因此只要被积函数已经具有这种形状，识别出 u=g(x) 就能把一个看起来困难的关于 x 的积分变成一个关于 u 的简单积分。
证明思路
令 Φ(x)=F(g(x))。由链式法则，因为 F′=f，故 Φ′(x)=F′(g(x))⋅g′(x)=f(g(x))g′(x)。
这恰好说明 Φ 在定义域内每个 x 处都可导，且导数为 f(g(x))g′(x)——即按定义，Φ 是 f(g(x))g′(x) 的一个原函数。
由上面的唯一性定理，f(g(x))g′(x) 的任何原函数都与 Φ 只相差一个常数，所以 ∫f(g(x))g′(x)dx=Φ(x)+C=F(g(x))+C，正如所述。实际操作中，我们记 u=g(x)，du=g′(x)dx，先把左边化为 ∫f(u)du=F(u)+C，最后再代回 u=g(x)。