量词顺序不可交换

正向。 设 $\mathcal{M} \models_s \exists y\, \forall x\, R(x,y)$。由 $\exists$ 的语义子句,$\mathcal{M} \models_s \exists y\, \varphi \iff \text{there is } d \in M \text{ with } \mathcal{M} \models_{s[y \mapsto d]} \varphi$;应用于此处得到某个 $d_0 \in M$ 使得 $\mathcal{M} \models_{s[y \mapsto d_0]} \forall x\, R(x,y)$。

对此应用 $\forall$ 的子句,得 $\mathcal{M} \models_{s[y \mapsto d_0][x \mapsto a]} R(x,y)$ 对每个 $a \in M$ 都成立,因为 $\forall x$ 遍历整个 $M$,与之后选取哪个 $a$ 无关。

现在固定任意 $a \in M$ 来验证 $\forall x\, \exists y\, R(x,y)$。由上一段,取 $x \mapsto a$ 得 $\mathcal{M} \models_{s[y \mapsto d_0][x \mapsto a]} R(x,y)$,这表明在 $x \mapsto a$ 下 $d_0$ 本身就是 $\exists y\, R(x,y)$ 的见证元素;因此 $\mathcal{M} \models_{s[x \mapsto a]} \exists y\, R(x,y)$。

由于 $a \in M$ 是任意的,$\mathcal{M} \models_{s[x \mapsto a]} \exists y\, R(x,y)$ 对每个 $a$ 都成立,这正是 $\mathcal{M} \models_s \forall x\, \exists y\, R(x,y)$ 的语义子句。这就证明了 $\exists y\, \forall x\, R(x,y) \Rightarrow \forall x\, \exists y\, R(x,y)$。

逆命题不成立:反例。 设 $\mathcal{M}$ 的论域为 $M = \mathbb{Z}$(整数),把 $R(x,y)$ 解释为“$x < y$”。此时 $\forall x\, \exists y\, R(x,y)$ 为真:对每个整数 $x$,取 $y = x+1$ 即有 $x < y$。但 $\exists y\, \forall x\, R(x,y)$ 为假:它需要一个单一整数 $y$ 大于每个整数 $x$,而不存在这样的最大整数(对任何候选 $y$,整数 $y+1$ 都违反 $y+1 < y$)。所以 $\forall x\, \exists y\, R(x,y)$ 成立而 $\exists y\, \forall x\, R(x,y)$ 不成立,说明逆蕴含一般不成立。