反三角不等式（固有时最大化）

**第一步（选取适配于 $\gamma_0$ 的惯性系）。** 由于 $\gamma_0$ 是平直类时直线，可选取一个惯性坐标系 $(t,x,y,z)$ 使 $\gamma_0$ 静止于空间原点：$p=(0,\mathbf 0)$，$q=(T,\mathbf 0)$（$T>0$），对 $t\in[0,T]$ 有 $\gamma_0(t)=(t,\mathbf 0)$。由于度规 $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ 在洛伦兹变换下不变，任意曲线的固有时在一切惯性系中相同。

**第二步（计算 $\tau(\gamma_0)$）。** 沿 $\gamma_0$ 空间速度为 $\mathbf v(t)=\mathbf 0$，故 $$\tau(\gamma_0) = \int_0^T \sqrt{1 - 0/c^2}\,dt = T.$$

**第三步（参数化竞争曲线 $\gamma$）。** 从 $p$ 到 $q$ 的任意未来指向类时曲线 $\gamma$ 处处满足 $dt/d\lambda > 0$（因 $c^2 dt^2 > |d\mathbf x|^2 \ge 0$），故可用坐标时间 $t\in[0,T]$ 将其参数化为 $\gamma(t)=(t,\mathbf x(t))$，满足 $\mathbf x(0)=\mathbf x(T)=\mathbf 0$，且速度 $\mathbf v(t)=d\mathbf x/dt$ 满足 $|\mathbf v(t)|<c$。其流逝固有时为 $[0,T]$ 上的 $\tau = \int \sqrt{1 - v(t)^2/c^2}\,dt$。

第四步（逐点估计与取等条件）。 对每个 $t\in[0,T]$，$|\mathbf v(t)|^2\ge0$ 蕴含 $0 < \sqrt{1 - |\mathbf v(t)|^2/c^2} \le 1$，在给定 $t$ 处取等当且仅当 $\mathbf v(t)=\mathbf 0$。在 $[0,T]$ 上积分得 $$\tau(\gamma) = \int_0^T \sqrt{1 - \frac{|\mathbf v(t)|^2}{c^2}}\,dt \le \int_0^T 1\,dt = T = \tau(\gamma_0).$$ 由于被积函数连续且 $\le 1$，等号 $\tau(\gamma)=T$ 成立当且仅当对所有 $t\in[0,T]$ 都有 $\mathbf v(t)=\mathbf 0$，结合 $\mathbf x(0)=\mathbf 0$ 即迫使 $\mathbf x(t)\equiv\mathbf 0$，即 $\gamma=\gamma_0$。