琼斯多项式的斜链关系确定 $V_K$

通过交叉点归纳法验证良定义的概要。 对图 $D$ 的交叉点排序，定义 $c(D)$ 为到达平凡结图所需切换的交叉点数（此数总是有限的，因为按适当顺序切换任意图的所有交叉点都会将其解结——这是经典事实）。我们证明 $V_K(t)$ 可以通过对 $c(D)$ 的归纳来计算。

基础情形。 若 $c(D)=0$，则 $D$ 已表示平凡结（可能带有雷德迈斯特第一型化简产生的额外分离平凡圈），按定义 $V_K(t)=1$（对 $k$ 个分离平凡分支带有归一化因子 $(-t^{1/2}-t^{-1/2})^{k-1}$，与应用于分离链环的斜链关系一致）。

归纳步骤。 设 $c(D)\ge 1$，选取一个切换后能使 $c$ 减小的交叉点。设 $D_+$（或 $D_-$）为该交叉点切换前的图，$D_-$（或 $D_+$）为切换后的图——按构造，其中之一的 $c$ 会减小。设 $D_0$ 为同一图但该交叉点被光滑化（去掉该交叉点，改用另一种方式连接绳股）；$D_0$ 整体少一个交叉点，故 $c$ 也更小（或属于基础情形）。由归纳假设，$D_-$（或 $D_+$）与 $D_0$ 的 $V$ 已知。将斜链关系 $t^{-1} V_{L_+} - t V_{L_-} = (t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}$ 整理以求解未知项（例如 $V_{L_+} = t\big(V_{L_-} + (t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}\big)$），即可算出 $D$ 的 $V$。

一致性（概要）。 该定理非平凡的部分——这一递归计算的值不依赖于交叉点选择的顺序，并在三种雷德迈斯特移动下均不变——由考夫曼括号多项式构造建立：通过局部光滑化规则 $\langle\text{crossing}\rangle = A\langle\text{smoothing }0\rangle + A^{-1}\langle\text{smoothing }\infty\rangle$ 及 $\langle D\sqcup\bigcirc\rangle = (-A^2-A^{-2})\langle D\rangle$ 定义 $\langle D\rangle$；可直接验证（有限的局部计算）$\langle D\rangle$ 在雷德迈斯特第二、三型下不变，在第一型下按可控因子变化，而这恰好通过乘以 $(-A^3)^{-w(D)}$（$w(D)$ 为纽结的绕率，即带符号交叉数）来精确抵消；代入 $t=A^{-4}$ 即恢复出恰好满足所述斜链关系的 $V_K(t)$。