三染色性是纽结不变量，且三叶结确实成结

第一型下的不变性。 第一型移动增加或去除一个小圈，产生一个单股自交的交叉点。在移动前任意有效染色中，该股在进入和离开该圈时颜色相同，设为 $a$。添加扭转会产生一个交叉点，其两下股均为颜色 $a$，上股也（因该圈为同一股）被迫为颜色 $a$，而 $a+a+a=3a\equiv 0\pmod 3$ 恒自动成立——故染色无约束地有效扩展到新交叉点，反之去除时也有效地限制下来。整体可染色性（存在使用 $\ge 2$ 种颜色的有效染色）得以保持。

第二型下的不变性。 第二型移动引入或去除两个交叉点，其中颜色为 $a$ 与 $b$（可能相等）的两股相交两次。检查这两个交叉点：在每一点，出现的两股为 $a,b$，第三股（每个交叉点处的上股，是同一两股中之一的延续）被规则强制为使 $a+b+c\equiv0$ 成立的颜色；由于这两个交叉点是通过两股简单地彼此跨越相关联的，原来两股 $a,b$ 上的染色可一致地扩展到两个新交叉区域，而不引入新颜色或矛盾，去除该移动只是删去这两个本就自动满足的约束。故可染色性双向保持。

第三型下的不变性。 第三型移动让一股滑过一个交叉点，在颜色为 $a,b,c$（设）的三股之间重新排列三个交叉点，但不改变全局上哪种颜色出现在何处——它只改变同样三条已染色弧的局部组合排列。由于三个交叉点各自的染色规则 $x+y+z\equiv0\pmod3$ 仅依赖于在该处相交的（无序）三股的颜色，而第三型不改变哪些股在交叉点相交（只改变图中局部排列），移动前的有效染色限制为移动后的有效染色，反之亦然。

结论。 由于三染色性（作为要求使用 $\ge 2$ 种颜色的是/否性质）在三种移动下均保持不变，它是纽结（而非仅仅图）的不变量。标准三叶结图在其三条弧上允许染色 $a=0,b=1,c=2$（可验证三个交叉点均满足 $0+1+2=3\equiv0\pmod3$），使用了 $3\ge2$ 种颜色，故三叶结可三染色。标准平凡结图（一个未打结的单圈，无交叉点，或任何可化简为单弧的图）只有一条弧，故只有一种颜色可用，不满足「$\ge 2$ 种颜色」的要求——平凡结不可三染色。由于三染色性是不变量而两个图结论不同，没有任何一串雷德迈斯特移动能将三叶结图连接到平凡结图，故三叶结确实是一个被打了结的圆。