Diffie-Hellman共享密钥协商

根据定义,$A = g^a \bmod p$ 与 $B = g^b \bmod p$ 都是模幂运算的结果,因此Bob收到 $A$ 后计算 $B^a = (g^b)^a \bmod p$,而Alice收到 $B$ 后计算 $A^b = (g^a)^b \bmod p$。

模幂运算遵循与普通幂运算相同的指数法则,因为在模 $p$ 下的重复相乘,与整数的重复相乘的复合方式完全相同,只是在每一步都对模 $p$ 取约化:作为 $g$ 的指数有 $(g^b)^a = g^{ba} = g^{ab} = (g^a)^b$,并且这个等式在每一步取模 $p$ 约化后依然成立。

因此 $B^a \bmod p = g^{ab} \bmod p = A^b \bmod p$:Alice与Bob各自独立地从自己的秘密指数和对方的公开值计算出相同的量 $g^{ab} \bmod p$,而秘密值 $a$ 或 $b$ 从未出现在信道上。

安全性论证与这个正确性论证是分开的:正确性只说明双方得到了同一个数;从 $g$、$p$ 和 $A$ 计算出 $a$ 的困难性(离散对数问题),才是使这个共享数字对观察者保密的原因。