马祖尔挠元分类定理

马祖尔在1977年的证明把 $E$ 上存在阶恰为 $N$ 的有理点这一事实,转化为在模曲线 $X_1(N)$(它对 $P$ 的阶为 $N$ 的对 $(E, P)$ 进行分类)上存在非尖点有理点。该策略研究相关模曲线 $X_0(N)$ 的雅可比簇 $J_0(N)$,以及作用其上的爱森斯坦理想 $\mathcal{I}$——即由素数 $\ell \nmid N$ 对应的 $T_\ell - \ell - 1$ 在 Hecke 代数中生成的理想。通过分析 $J_0(N)$ 的爱森斯坦商及其模辅助素数的约化,马祖尔证明:对于不在允许列表中的 $N$,$X_1(N)(\mathbb{Q})$ 只由尖点组成,因此 $\mathbb{Q}$ 上任何椭圆曲线都不可能有阶恰为该值的有理点;而显式构造(例如利用曲线 $y^2=x^3+ax$ 与 $y^2=x^3+b$)则给出了实现全部 $15$ 个允许群的例子。