逆否命题的等价性

我们通过比较 $P\to Q$ 与 $\neg Q\to\neg P$ 在全部四种赋值下的真值表来证明 $(P \to Q) \equiv (\neg Q \to \neg P)$。

情形 $P=1, Q=1$:$P\to Q=1$(前提真、结论真)。同时 $\neg Q=0$,故 $\neg Q\to\neg P$ 前提为假,无论 $\neg P$ 为何,整个条件式都为 $1$。两边都是 $1$。

情形 $P=1, Q=0$:$P\to Q=0$(前提真、结论假是使条件式为假的唯一情形)。同时 $\neg Q=1$、$\neg P=0$,故 $\neg Q\to\neg P$ 前提真、结论假,得 $0$。两边都是 $0$。

情形 $P=0, Q=1$:$P\to Q=1$(前提假使条件式恒真)。同时 $\neg Q=0$,故 $\neg Q\to\neg P=1$ 自动成立。两边都是 $1$。

情形 $P=0, Q=0$:$P\to Q=1$(前提假)。同时 $\neg Q=1$、$\neg P=1$,故 $\neg Q\to\neg P=1$(前提真、结论真)。两边都是 $1$。

四行全部吻合,故 $P\to Q$ 与 $\neg Q\to\neg P$ 真值表完全相同,逻辑等价。注意这与 逆命题 $Q\to P$ 和 否命题 $\neg P\to\neg Q$ 不同——它们二者互相等价,但一般与原条件式不等价,这是常见的论证错误来源。