模性定理(谷山–志村–韦伊)

怀尔斯于1994–95年证明了 $\mathbb{Q}$ 上半稳定椭圆曲线的模性(最后一步——变形环与 Hecke 代数之间同构的一个数值判据,即“$R=T$ 定理”——是与理查德·泰勒共同确立的)。该策略证明了 $E$ 的 $\ell$-adic Tate 模上的伽罗瓦表示,与某个候选模形式相伴的表示,都落在同一个形变空间中;证明形变环 $R$ 与作用于模形式上的 Hecke 代数 $T$ 相重合,就迫使每一个被允许的伽罗瓦表示——尤其是 $E$ 的表示——都来自某个模形式。由于任何半稳定曲线就足以排除费马方程的反例(任何解 $a^n+b^n=c^n$ 都会产生一条半稳定的 Frey 曲线 $y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$,而肯尼斯·里贝特通过其1990年对 $\varepsilon$-猜想的证明已表明该曲线不可能是模的),这就证明了费马大定理。半稳定性这一限制后来被克里斯托夫·布勒伊、布赖恩·康拉德、弗雷德·戴蒙德与理查德·泰勒于2001年彻底去除,将模性推广到了 $\mathbb{Q}$ 上所有椭圆曲线。