纳什存在定理

设 $\Delta = \Delta_1 \times \cdots \times \Delta_n$，即各参与人混合策略单纯形的乘积——这是欧几里得空间中一个紧致凸子集。对 $x \in \Delta$、参与人 $i$ 以及纯策略 $j \in S_i$，定义增益函数 $g_{ij}(x) = \max\big(0,\, u_i(s_{ij}, x_{-i}) - u_i(x)\big)$，即参与人 $i$ 完全改用纯策略 $j$ 所能获得的收益（若该转换无益则为 $0$）。定义 $f : \Delta \to \Delta$ 为 $f_i(x)_j = \dfrac{x_{ij} + g_{ij}(x)}{1 + \sum_{k \in S_i} g_{ik}(x)}$；由于 $u_i$ 关于 $x$ 连续（实际上是多重线性的），$g_{ij}$ 连续，故 $f$ 连续，且由构造可知每个 $f_i(x)$ 仍是概率向量。

由布劳威尔不动点定理，紧致凸集 $\Delta$ 上的连续映射 $f$ 存在不动点 $x^\star$，满足 $f(x^\star) = x^\star$。记 $S_i := \sum_{k \in S_i} g_{ik}(x^\star)$；对每个 $(i,j)$ 的不动点方程为 $x_{ij}^\star (1 + S_i) = x_{ij}^\star + g_{ij}(x^\star)$，即 $x_{ij}^\star S_i = g_{ij}(x^\star)$。

固定参与人 $i$，令 $d_{ij} := u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) - u_i(x^\star)$，则 $g_{ij}(x^\star) = \max(0, d_{ij})$。将不动点方程乘以 $d_{ij}$ 并对 $j \in S_i$ 求和：左边为 $S_i \sum_j x_{ij}^\star d_{ij} = S_i\left(\sum_j x_{ij}^\star u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) - u_i(x^\star)\sum_j x_{ij}^\star\right) = S_i(u_i(x^\star) - u_i(x^\star)) = 0$，此处用到 $\sum_j x_{ij}^\star u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) = u_i(x^\star)$ 及 $\sum_j x_{ij}^\star = 1$。

右边为 $\sum_j g_{ij}(x^\star)\, d_{ij} = \sum_j \max(0,d_{ij})\, d_{ij} = \sum_{j:\, d_{ij} > 0} d_{ij}^2 \ge 0$。令两边相等，得 $\sum_{j:\, d_{ij}>0} d_{ij}^2 = 0$，这是平方和为零，故每一项都为零：不存在使 $d_{ij} > 0$ 的 $j$。由于 $i$ 是任意的，对每个参与人 $i$ 和每个纯策略 $j$ 都有 $u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) \le u_i(x^\star)$——这恰好就是纳什均衡的条件。因此 $x^\star$ 是一个纳什均衡。