D≠0 时恰好有唯一解

推导必要条件（消去y）： 把 $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ 第一式乘以 $d$、第二式乘以 $b$:得 $adx+bdy=ed$ 和 $bcx+bdy=bf$。第一式减去第二式,恰好消去 $bdy$ 项,留下 $(ad-bc)x=ed-bf$。这个方程是方程组的必然推论:任何同时满足两个原方程的 $(x,y)$ 都必须满足它,因为它只是由原两式的倍数相加减得到的。

推导对偶条件（消去x）： 对称地,把第一式乘以 $c$、第二式乘以 $a$,再用第二式减第一式消去 $x$ 项,留下 $(ad-bc)y=af-ec$,同样是任意解的必然推论。

D≠0 时的存在性。 若 $ad-bc\neq0$,则一元方程 $(ad-bc)x=ed-bf$ 由一元一次方程的定理知恰有一个解 $x=\dfrac{ed-bf}{ad-bc}$;同理 $(ad-bc)y=af-ec$ 给出恰好 $y=\dfrac{af-ec}{ad-bc}$。把这两个值代入 $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ 的原方程并做代数化简,可确认两者同时成立(读者可通过在公分母 $D$ 上合并分数来验证 $a\cdot\dfrac{ed-bf}{ad-bc}+b\cdot\dfrac{af-ec}{ad-bc}=e$)——所以解确实存在。

D≠0 时的唯一性。 由于 $(ad-bc)x=ed-bf$ 和 $(ad-bc)y=af-ec$ 对 $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ 的每一个解都是必要的(而不仅仅是充分的),原方程组的任何解 $(x,y)$,无论是什么,都必然要满足 $x=\dfrac{ed-bf}{ad-bc}$、$y=\dfrac{af-ec}{ad-bc}$,这由一元方程唯一性部分保证。因此不可能有两个不同的解:结合存在性,恰好在 $ad-bc\neq0$ 时解是唯一的。