二项式系数之和

把 $a=1,\ b=1$ 代入二项定理 $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$:左边变为 $(1+1)^n=2^n$,右边由于 $1$ 的任意次幂都是 $1$ 而变为 $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}1^k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$。

令两边相等即得 $2^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$。

这个恒等式还有直接的组合意义:$\binom{n}{k}$ 计算一个含 $n$ 个元素的集合 $S$ 中含 $k$ 个元素的子集数,因此 $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$ 计算 $S$ 的所有大小的子集,也就是整个幂集,由于 $n$ 个元素中每个都独立地属于或不属于某子集,其元素个数恰为 $2^n$。