拉格朗日插值误差公式

第一步(巧妙的辅助函数)。固定一个不是节点的点 $x$(若是节点,误差平凡地为 $0$)。设 $w(t) = \prod_{i=0}^{n} (t - x_i)$,并定义常数 $c = \dfrac{f(x)-P(x)}{w(x)}$(由于 $w(x)\ne0$ 故有良好定义)。定义辅助函数 $g(t) = f(t) - P(t) - c\, w(t)$。

第二步(计数g的根)。在每个节点 $x_i$ 处,由插值性质 $f(x_i)-P(x_i)=0$,且由 $w$ 的定义 $w(x_i)=0$,故在全部 $n+1$ 个节点处都有 $g(x_i)=0$。此外,由 $c$ 的选取,$g(x) = f(x)-P(x) - c\,w(x) = f(x)-P(x) - [f(x)-P(x)] = 0$。故 $g$ 有 $n+2$ 个互异的根:$n+1$ 个节点加上 $x$ 本身。

第三步(反复应用罗尔定理)。在 $g$ 的每对相邻根之间($n+2$ 个根之间共有 $n+1$ 个这样的间隔),罗尔定理给出一点使 $g'$ 为零,故 $g'$ 至少有 $n+1$ 个根。对 $g', g'', \dots$ 重复此论证,每求一次导就减少一个根,故经过 $n+1$ 次应用后,$g^{(n+1)}$ 在该区间内至少有一个根 $\xi$。

第四步(求导并解出误差)。由于 $P$ 的次数不超过 $n$,其 $(n+1)$ 阶导数为 $0$;而 $w$ 是次数为 $n+1$ 的首一多项式,故对一切 $t$ 都有 $w^{(n+1)}(t) = (n+1)!$。对 $g$ 求导得 $g^{(n+1)}(t) = f^{(n+1)}(t) - 0 - c\,(n+1)!$,令 $g^{(n+1)}(\xi)=0$ 得 $c = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$。回想 $c=\dfrac{f(x)-P(x)}{w(x)}$ 并解出误差,恰好得到 $f(x) - P(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^{n} (x - x_i)$。