自然三次样条的存在性与唯一性

第一步(未知量:各节点处的二阶导数)。设 $i=0,\dots,n$ 时 $M_i = S''(x_i)$。自然边界条件立即固定 $M_0=0$ 与 $M_n=0$,剩下 $n-1$ 个未知量 $M_1,\dots,M_{n-1}$ 待定。

第二步(由M值重构每个三次段)。在 $[x_i,x_{i+1}]$ 上,由于 $S$ 是三次的,故 $S''$ 是线性的,必为经过 $(x_i,M_i)$ 与 $(x_{i+1},M_{i+1})$ 的直线。将该线性函数积分两次,并利用 $S(x_i)=y_i$ 与 $S(x_{i+1})=y_{i+1}$ 固定两个积分常数,便完全确定了该段上的 $S$,用 $M_i, M_{i+1}, y_i, y_{i+1}$ 及间距 $h_i=x_{i+1}-x_i$ 表示。因此一旦所有 $M_i$ 已知,$S$ 便完全确定。

第三步(斜率匹配给出线性方程组)。按构造,$S$ 与 $S''$ 在每个节点处已经连续。要求一阶导数 $S'$ 在每个内部节点 $x_i$($i=1,\dots,n-1$)处从两侧也一致,便在每个内部节点处产生一个关联三个连续未知量的线性方程:$h_{i-1} M_{i-1} + 2(h_{i-1}+h_i) M_i + h_i M_{i+1} = 6\left(\dfrac{y_{i+1}-y_i}{h_i} - \dfrac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}\right)$。这给出关于 $n-1$ 个未知量 $M_1,\dots,M_{n-1}$(利用 $M_0=M_n=0$)的 $n-1$ 个线性方程。

第四步(方程组有唯一解)。该方程组的系数矩阵是三对角矩阵,对角元为 $2(h_{i-1}+h_i)$,非对角元为 $h_{i-1}$ 与 $h_i$;由于所有间距 $h_i>0$,故 $2(h_{i-1}+h_i) > h_{i-1}+h_i$,该矩阵严格对角占优,而严格对角占优矩阵总是可逆的。因此关于 $M_1,\dots,M_{n-1}$ 的线性方程组恰有一个解,由第二步这唯一确定了一条样条 $S$,从而同时证明了存在性与唯一性。