佩雷尔曼 $\mathcal{F}$ 熵的单调性

第一步(守恒测度)。 在里奇流下 $\partial_t\,dV=-R\,dV$(因为 $\partial_t\log\sqrt{\det g}=\tfrac12g^{ij}\partial_tg_{ij}=-R$)。结合 $f$ 的演化方程 $\partial_t f = -\Delta f + |\nabla f|^2 - R$，并利用 $\Delta(e^{-f})=e^{-f}(|\nabla f|^2-\Delta f)$，得 $\partial_t(e^{-f}dV)=(-\partial_tf-R)e^{-f}dV=(\Delta f-|\nabla f|^2)e^{-f}dV=-\Delta(e^{-f})\,dV$。在闭流形 $M$ 上积分，右边由散度定理为零，因此 $\int_M e^{-f}dV$ 关于时间为常数：$e^{-f}dV$ 是被耦合流所携带的守恒测度。

**第二步(化简为 $\partial_t\varphi-\Delta\varphi$ 的积分)。** 记 $\varphi=R+|\nabla f|^2$，则 $\mathcal F(g,f)=\int_M\varphi\,e^{-f}dV$。在积分号下求导，并利用第一步的 $\partial_t(e^{-f}dV)=-\Delta(e^{-f})\,dV$，得 $\frac{d}{dt}\mathcal F=\int_M(\partial_t\varphi)e^{-f}dV-\int_M\varphi\,\Delta(e^{-f})\,dV$。由于普通拉普拉斯算子关于闭流形 $M$ 上的 $dV$ 自伴，$\int_M\varphi\,\Delta(e^{-f})\,dV=\int_M(\Delta\varphi)e^{-f}dV$，于是 $\frac{d}{dt}\mathcal F=\int_M\big[\partial_t\varphi-\Delta\varphi\big]e^{-f}dV$。

**第三步($R$ 的部分)。** 哈密顿关于数量曲率的演化公式是 $\partial_tR=\Delta R+2|\mathrm{Ric}|^2$，因此直接得到 $\partial_tR-\Delta R=2|\mathrm{Ric}|^2$。这已经为第二步括号中的表达式贡献了 $2|\mathrm{Ric}|^2$。

**第四步($|\nabla f|^2$ 的部分)。** 由于 $\partial_tg^{ij}=2R^{ij}$，链式法则给出 $\partial_t|\nabla f|^2=2\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)+2\langle\nabla f,\nabla(\partial_tf)\rangle$，代入 $\partial_tf=-\Delta f+|\nabla f|^2-R$ 及恒等式 $\langle\nabla f,\nabla|\nabla f|^2\rangle=2\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)$，得 $\partial_t|\nabla f|^2=2\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle+4\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle$。博赫纳公式给出 $\Delta|\nabla f|^2=2|\nabla^2f|^2+2\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle+2\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)$；两式相减抵消掉两个 $\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)$，剩下 $\partial_t|\nabla f|^2-\Delta|\nabla f|^2=-2|\nabla^2f|^2+4\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)-4\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle$。

第五步(带权博赫纳公式与一个消失的散度项)。 引入巴克里–埃米里(以 $f$ 加权的)拉普拉斯算子 $\Delta_f h = \Delta h - \langle\nabla f,\nabla h\rangle$；由于 $\Delta_fh\,e^{-f}=\mathrm{div}(e^{-f}\nabla h)$ 是纯散度，它满足对任意函数 $h$ 有 $\int_M(\Delta_fh)e^{-f}dV=0$。将 $\Delta f=\Delta_ff+|\nabla f|^2$ 代入，把 $\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle$ 化为 $\langle\nabla f,\nabla\Delta_ff\rangle+2\nabla^2f(\nabla f,\nabla f)$，再由带权博赫纳–魏森伯克恒等式 $\tfrac12\Delta_f|\nabla f|^2=|\nabla^2f|^2+\langle\nabla f,\nabla\Delta_ff\rangle+(\mathrm{Ric}+\nabla^2f)(\nabla f,\nabla f)$ 分离出 $\langle\nabla f,\nabla\Delta_ff\rangle$。把这些代回第四步的表达式，所有由 $\Delta_f|\nabla f|^2$ 构成的项按上述消失散度性质对 $e^{-f}dV$ 积分后为零，剩下的恰为 $\int_M\big[2|\nabla^2f|^2+4\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle\big]e^{-f}dV$。

第六步(利用缩并比安基恒等式配方)。 对 $\langle\mathrm{Ric},\nabla^2f\rangle$ 分部积分，并使用缩并第二比安基恒等式 $\nabla^iR_{ij}=\frac12\nabla_jR$ 恰好得到 $4\int_M\langle\mathrm{Ric},\nabla^2f\rangle e^{-f}dV=\int_M\big[4\mathrm{Ric}(\nabla f,\nabla f)-2\langle\nabla f,\nabla R\rangle\big]e^{-f}dV$——这正是第五步中剩下的交叉项。代回并加上第三步的 $2|\mathrm{Ric}|^2$，被积表达式恰好凑成完全平方：$2|\mathrm{Ric}|^2+4\langle\mathrm{Ric},\nabla^2f\rangle+2|\nabla^2f|^2=2|\mathrm{Ric}+\nabla^2f|^2$。

结论。 因此 $\frac{d}{dt}\mathcal{F}(g,f)=2\int_M|R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf|^2e^{-f}dV\ge0$，这是关于正权重 $e^{-f}dV$ 的平方和，所以 $\mathcal{F}$ 沿耦合流不减，且它在某区间上为常数当且仅当那里 $R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf\equiv0$，即恰好在稳态梯度里奇孤立子上。$\blacksquare$