带手术里奇流的有限时间灭绝

第一步(三维特有的柯西–施瓦茨不等式)。 在三维流形的一点，里奇张量是特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 的对称 $3\times3$ 矩阵，且 $R=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$。对三个数的柯西–施瓦茨(幂平均)不等式给出 $(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2\le3(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2)$，即 $|\mathrm{Ric}|^2\ge R^2/3$，等号恰在爱因斯坦点($\mathrm{Ric}=\tfrac{R}{3}g$)成立。这一不等式是三维特有的，正是它使得论证仅用数量曲率 $R$ 就能封闭。

**第二步($R$ 的微分不等式)。** 代入哈密顿的演化公式 $\partial_tR=\Delta R+2|\mathrm{Ric}|^2$ 得 $\partial_tR=\Delta R+2|\mathrm{Ric}|^2\ge\Delta R+\tfrac23R^2$。

第三步(极小值处的极大值原理)。 记 $R_{\min}(t)=\min_{x\in M}R(x,t)$。在 $R$ 达到空间极小值的点处，$\Delta R\ge0$(二阶导数判据)，因此第二步的微分不等式在障碍函数意义下(哈密顿关于里奇流下演化极小值的极大值原理)迫使 $\frac{d}{dt}R_{\min}\ge\frac23R_{\min}^2$。手术只会接入曲率不低于手术阈值的度量，因此它绝不会把 $R_{\min}$ 降到之前的值以下；故此微分不等式在有限多次手术时刻之间持续成立。

第四步(求解模型常微分方程)。 用分离变量法求解 $y'=\tfrac23y^2$，$y(0)=r_0>0$：由 $\int y^{-2}dy=\int\tfrac23dt$ 得 $-\tfrac1y=\tfrac23t-\tfrac1{r_0}$，即 $\tfrac1{y(t)}=\tfrac1{r_0}-\tfrac23t$，即 $y(t)=\dfrac{r_0}{1-\frac23 r_0 t}$。这恰是与初始大小匹配的收缩圆球度量的数量曲率，且恰在分母为零、即 $t=T$(即 $T=\dfrac{3}{2r_0}$)时 $y(t)\to+\infty$。

第五步(比较)。 由于 $R_{\min}(t)$ 满足 $\frac{d}{dt}R_{\min}\ge\tfrac23R_{\min}^2$，而 $y(t)$ 以相同初值 $r_0$ 取等号满足该常微分方程，由常微分方程比较原理，只要两者都有定义就有 $R_{\min}(t)\ge y(t)$。由于当 $t\to T^-$ 时 $y(t)\to+\infty$，$R_{\min}(t)$ 必须在 $T$ 之前就已趋于 $+\infty$：流不可能在曲率不爆炸的情况下光滑延续超过 $T$，因此手术必须不迟于 $T$ 介入。

第六步(从爆炸到灭绝)。 与第四步的模型收缩球面相比，$R_{\min}\to\infty$ 的分量处处至少以同样快的速度体积收缩至零；它没有任何余地在 $T$ 之后继续存在。因为 $M$ 单连通，几何化不允许出现任何非正曲率的分块($\mathbb{H}^3$, $\mathrm{Nil}$, $\mathrm{Sol}$, $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$, $\widetilde{\mathrm{SL}_2\mathbb{R}}$ 分块都会给紧致三维流形强加非平凡基本群)，所以正曲率分块收缩消失之后不会残留任何几何分块：时刻 $t$ 存在的每一个连通分量都必须不迟于时刻 $T=\tfrac{3}{2r_0}$ 被手术消去，即带手术的流在 $T$ 之前灭绝。$\blacksquare$