函子保持同构

因为 $f$ 与 $g$ 互为逆,$g \circ f = 1_A$ 且 $f \circ g = 1_B$。

对第一个等式应用 $F$。函子保持合成,故 $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$;函子保持恒等,故 $F(1_A) = 1_{F(A)}$。把这些与 $g \circ f = 1_A$ 结合得到 $F(g) \circ F(f) = 1_{F(A)}$。

以同样方式对第二个等式应用 $F$:$F(f \circ g) = F(f) \circ F(g)$ 且 $F(1_B) = 1_{F(B)}$,于是由 $f \circ g = 1_B$ 得到 $F(f) \circ F(g) = 1_{F(B)}$。

这两个等式恰好说明 $F(g)$ 是 $F(f)$ 的双侧逆。具有双侧逆的态射就是同构,所以 $F(f) : F(A) \to F(B)$ 是一个以 $F(g)$ 为逆的同构,正如所述。