终对象在唯一同构意义下是唯一的

因为 $T_2$ 是终对象,所以每个对象——特别是 $T_1$——到它都恰有一个态射;记为 $u : T_1 \to T_2$。因为 $T_1$ 是终对象,对称地恰有一个 $v : T_2 \to T_1$。

考察合成 $v \circ u : T_1 \to T_1$。因为 $T_1$ 是终对象,$T_1 \to T_1$ 的态射恰有一个,而 $1_{T_1}$ 就是这样一个态射;由于 $v \circ u$ 也是一个 $T_1 \to T_1$ 的态射,唯一性迫使 $v \circ u = 1_{T_1}$。

用 $T_2$ 的终对象性作对称的论证,合成 $u \circ v : T_2 \to T_2$ 必须等于 $1_{T_2}$:$u \circ v = 1_{T_2}$。

一个具有双侧逆的态射按定义就是一个同构,所以 $u$ 是一个具有逆 $v$ 的同构 $T_1 \cong T_2$。它是唯一的态射 $T_1 \to T_2$,因为 $T_2$ 的终对象性本身就说明这样的态射恰好只有一个——$u$ 从一开始就被唯一确定,而它恰好可逆这件事只是后来发现的。