$\sqrt{2}$ 的无理性

为反证,假设 $\sqrt{2}$ 是有理数。那么可以写成 $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$,其中 $p,q$ 为整数且 $q \neq 0$,通过约去公因子可设 $\gcd(p,q)=1$(分数已为最简形式)。

两边平方得 $2 = \frac{p^2}{q^2}$,故 $p^2 = 2q^2$。这意味着 $p^2$ 是偶数。由于奇数的平方是奇数,$p$ 本身必须是偶数;设 $p = 2k$,其中 $k$ 为某个整数。

代回原式,$(2k)^2 = 2q^2$,即 $4k^2 = 2q^2$,化简为 $q^2 = 2k^2$。这意味着 $q^2$ 是偶数,由同样的推理 $q$ 也必须是偶数。

但现在 $p$ 与 $q$ 都是偶数,故 $2$ 同时整除它们,这与假设 $\gcd(p,q)=1$ 矛盾。这一矛盾表明最初的假设——$\sqrt{2}$ 可以写成 $\frac{p}{q}$——必定为假。因此 $\sqrt{2}$ 是无理数。