交集对并集的分配律

我们通过证明双向包含关系来说明两个集合相等,方法是取任意元素 $x_0$ 进行"元素追踪"。

(正向,$\subseteq$) 设 $x_0 \in A \cap (B \cup C)$。由交集的定义,这意味着 $x_0 \in A$ 且 $x_0 \in B \cup C$。由并集的定义,$x_0 \in B \cup C$ 意味着 $x_0 \in B$ 或 $x_0 \in C$。分两种情形讨论。情形1:$x_0 \in B$。结合 $x_0 \in A$,得到 $x_0 \in A \cap B$。情形2:$x_0 \in C$。结合 $x_0 \in A$,得到 $x_0 \in A \cap C$。无论哪种情形,$x_0$ 都属于 $x_0 \in A \cap B$ 或属于 $x_0 \in A \cap C$,因此 $x_0 \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$。

(反向,$\supseteq$) 设 $x_0 \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$。由并集的定义,这意味着 $x_0 \in A \cap B$ 或 $x_0 \in A \cap C$。若 $x_0 \in A \cap B$,则 $x_0 \in A$ 且 $x_0 \in B$,从而 $x_0 \in B \cup C$(因为 $x_0$ 属于 $B$,故属于 $B$ 或 $C$),于是 $x_0 \in A \cap (B \cup C)$。若 $x_0 \in A \cap C$,则 $x_0 \in A$ 且 $x_0 \in C$,从而 $x_0 \in B \cup C$,同样得到 $x_0 \in A \cap (B \cup C)$。

由于左边的每个元素都属于右边,反之亦然,两个集合含有完全相同的元素,故 $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ 成立,证明完毕。