指示变量之和的期望线性性

将 $X = \sum_{i=1}^m \mathbb{1}[A_i]$ 记作:若 $A_i$ 发生则 $\mathbb{1}[A_i]$ 取 $1$,否则取 $0$。期望本身被定义为按概率加权对各结果求的和(或积分),而这个和对有限个随机变量总是可加的——无论这些变量是否独立都成立,因为期望的可加性从不依赖独立性,只依赖我们是在同一个概率测度上求和这一事实。

形式上,由有限个随机变量之和的期望可加性,有 $\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^m \mathbb{1}[A_i]\right] = \sum_{i=1}^m \mathbb{E}[\mathbb{1}[A_i]]$。

最后,对任意指示变量都有 $\mathbb{E}[\mathbb{1}[A_i]] = 1 \cdot \Pr[A_i] + 0 \cdot \Pr[\overline{A_i}] = \Pr[A_i]$。代入上式,便恰好得到 $\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^m \Pr[A_i]$,且完全不需要对 $A_i$ 之间的关系做任何假设。