狄利克雷逼近定理(法雷剖分)

考虑 $Q+2$ 个数 $0,\{\alpha\},\{2\alpha\},\dots,\{Q\alpha\},1$,其中 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分;它们都属于 $[0,1]$。将 $[0,1]$ 划分为 $Q+1$ 个长度为 $1/(Q+1)$ 的相等子区间:$[0,\tfrac1{Q+1}), [\tfrac1{Q+1},\tfrac2{Q+1}),\dots$。

我们有 $Q+2$ 个数却只有 $Q+1$ 个子区间,由鸽笼原理,必有两个数 $\{j\alpha\}$ 与 $\{i\alpha\}$($0\le i<j\le Q$,允许 $i=0$ 即 $\{i\alpha\}=0$)落入同一子区间,从而相差小于 $1/(Q+1)$:$|\{j\alpha\}-\{i\alpha\}|<\tfrac{1}{Q+1}$。

设 $q=j-i$,则 $1\le q\le Q$。因为 $\{j\alpha\}-\{i\alpha\} = (j\alpha - i\alpha) - (\lfloor j\alpha\rfloor - \lfloor i\alpha\rfloor) = q\alpha - a$(其中整数 $a=\lfloor j\alpha\rfloor-\lfloor i\alpha\rfloor$),故 $|q\alpha - a| < \tfrac{1}{Q+1}$,即 $\left|\alpha-\dfrac aq\right| < \dfrac{1}{q(Q+1)}$。

最后,若 $\gcd(a,q)=d>1$,将 $a$ 和 $q$ 同除以 $d$:所得分数分母更小,与 $\alpha$ 的距离相同或更小,因此不失一般性可设 $\gcd(a,q)=1$。证明完成;这是一个有限的、构造性的鸽笼论证,不依赖任何未经证明的估计。