詹森方程归约为柯西方程

**第1步:定义 $g$ 并验证 $g(0)=0$。** 设 $g(x) = f(x) - f(0)$。则 $g(0) = f(0)-f(0) = 0$。

**第2步:用 $g$ 重写詹森方程。** 将 $f = g + f(0)$ 代入 $f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(x)+f(y)}{2}$,得 $g\left(\frac{x+y}{2}\right) + f(0) = \frac{g(x)+f(0)+g(y)+f(0)}{2} = \frac{g(x)+g(y)}{2} + f(0)$。$f(0)$ 项相消,留下 $g\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{g(x)+g(y)}{2}$——$g$ 满足完全相同的詹森方程。

第3步:推导减半恒等式。 在 $g$ 的方程中令 $y=0$:$g\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{g(x)+g(0)}{2} = \frac{g(x)}{2}$(利用第1步的 $g(0)=0$)。故对每个 $x$ 有 $g(x/2) = g(x)/2$,等价地对每个 $u$ 有 $g(2u) = 2g(u)$(代入 $u=x/2$)。

**第4步:将 $g$ 的詹森方程转化为加性。** 对任意 $x,y\in\mathbb{R}$,对 $(x,y)$ 应用 $g$ 的詹森方程:$g\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{g(x)+g(y)}{2}$。由第3步取 $u = x+y$,左边等于 $g(x+y)/2$(因为 $\frac{x+y}{2}$ 是 $x+y$ 的减半)。故 $\frac{g(x+y)}{2} = \frac{g(x)+g(y)}{2}$,两边乘以 $2$:$g(x+y) = g(x)+g(y)$。

第5步:结论。 这正是应用于 $g$ 的加性柯西方程 $f(x+y)=f(x)+f(y)$。由定理1,若 $g$(等价地 $f$,因两者仅相差常数 $f(0)$)连续、单调或在某区间上有界,则存在常数 $c=g(1)=f(1)-f(0)$ 使 $g(x) = cx$。代回得 $f(x) = g(x) + f(0) = cx + f(0)$,即詹森方程的一般正则解——一个仿射(不必是线性)函数。