素数定理

这个证明只是解析路径的逻辑框架，并非自足的推导——它需要课程更靠后才会引入的复分析（详情见黎曼zeta函数专题）。论证分三个阶段。

阶段1（归约到θ）：一个常规的分部求和论证表明 $\pi(x) \sim x/\log x$ 等价于 $\theta(x) \sim x$，其中 $\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ 与上面切比雪夫界中的相同。

阶段2（用ζ编码θ）：黎曼的显式公式把 $\theta(x)$（更准确地说是相近的 $\psi(x)=\sum_{p^k\le x}\log p$）几乎精确地用 $\zeta(s)=\sum_n n^{-s}=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$ 的零点表示出来：主项 $x$ 来自 $\zeta$ 在 $s=1$ 处的单极点，而 $\zeta$ 的每个零点 $\rho=\beta+i\gamma$ 都贡献一个大小约为 $x^{\beta}$ 的振荡误差项。

阶段3（关键的不消失事实）：$\psi(x)\sim x$——从而定理成立——当且仅当没有零点满足 $\beta=1$，即 $\zeta(1+it) \ne 0 \text{ for all } t \in \mathbb{R}$。阿达马与德拉瓦莱·普桑于1896年各自独立地证明了这一不消失性，方法是把一个初等三角不等式（$3+4\cos\theta+\cos2\theta\ge0$）应用于 $\sigma\to1^+$ 时的 $\log|\zeta(\sigma)^3\zeta(\sigma+it)^4\zeta(\sigma+2it)|$：若 $1+it$ 处有零点，该式会被迫趋于 $-\infty$，而不等式不允许这种情况。纽曼1980年的证明把阶段3的后果压缩成一个简短的陶伯型论证，但逻辑骨架——$1$ 处的极点、别处的零点、直线 $\operatorname{Re}(s)=1$ 上的不消失性——正是黎曼与阿达马所给出的。