有限马尔可夫链基本定理

存在性与唯一性。由于 $P$ 是行随机矩阵,全1向量是特征值为1的右特征向量,故1也是 $P$ 的特征值(矩阵与其转置共享特征值),从而存在相应的左特征向量 $\pi$ 满足 $\pi P=\pi$。不可约性意味着 $P$ 是一个强连通图的转移矩阵,因此可以应用佩龙-弗罗贝尼乌斯定理:特征值1是单重的(重数为一),且其特征向量可取为严格为正,归一化使各分量之和为1后即得唯一性。

收敛性。非周期性加上不可约性意味着 $P$ 的所有其他特征值 $\lambda$ 都满足 $|\lambda|<1$(这正是周期性会破坏的部分:周期链恰好在单位圆上有额外的特征值,例如 $-1$,它永远不会衰减)。将任意初始分布 $\mu_0$ 用 $P$ 的特征基展开,沿 $\pi$ 方向的分量(特征值1)永远保持不变,而其余每个分量在第 $n$ 步都被乘以 $\lambda^n$,以几何速度衰减到零。

结合这两步,$\mu_0 P^n$ 收敛到唯一的特征值1分量,即恰为 $\pi$;由于这对任意初始分布 $\mu_0$(包括每个点质量,即单位矩阵的每一行)都成立,故 $P^n$ 的每一行都如所述收敛到 $\pi$。