二次互反律

我们借助高斯引理作为垫脚石:对奇素数 $p$ 及 $\gcd(a,p)=1$,考察 $a, 2a, \dots, \frac{p-1}{2}a$ 模 $p$ 的最小正剩余,设其中超过 $p/2$ 的个数为 $\mu$。高斯引理断言 $\left(\dfrac{a}{p}\right)=(-1)^{\mu}$;这可由将每个这样的“大”剩余 $r$ 与 $p-r\le p/2$ 配对、并以两种方式相乘这 $\frac{p-1}{2}$ 个数时追踪符号得到。

艾森斯坦的精细化把 $\mu$ 表示为格点计数:当 $a=q$ 为奇数时,通过比较 $\lfloor kq/p\rfloor$(小于 $kq$ 的 $p$ 的倍数个数)与 $kq \bmod p$ 距 $p/2$ 的远近,可证明 $\mu \equiv \sum_{k=1}^{(p-1)/2} \left\lfloor \frac{kq}{p} \right\rfloor \pmod 2$。将同样的计数论证对称地应用,得到 $\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{S(q,p)}$ 与 $\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{S(p,q)}$,其中 $S(q,p)=\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor \frac{kq}{p}\right\rfloor$,$S(p,q)=\sum_{k=1}^{(q-1)/2}\left\lfloor \frac{kp}{q}\right\rfloor$。

从几何上看,$S(q,p)+S(p,q)$ 统计满足 $1\le x\le \frac{p-1}{2}$、$1\le y\le \frac{q-1}{2}$ 且严格位于直线 $qx=py$ 下方的格点 $(x,y)$(共 $S(q,p)$ 个),加上严格位于其上方的格点(由 $p,q$ 的对称角色,共 $S(p,q)$ 个)。由于 $\gcd(p,q)=1$ 且 $x<p$,没有格点恰好落在该直线上,故这两个计数合起来恰好覆盖整个 $\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}$ 个格点的矩形。

因此 $S(q,p)+S(p,q) = \frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}$,将两个勒让德符号公式相乘得到 $\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{S(p,q)+S(q,p)}=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$,这正是 $\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$。