超穷归纳法原理

反证:假设 $C$ 不包含所有序数。那么不属于 $C$ 的序数组成的类 $D$ 非空。序数本身构成良序(任何非空的序数类都有最小元——这正是序数的定义性质),所以 $D$ 有最小元,记为 $\alpha$。

由 $\alpha$ 的最小性,所有 $\beta<\alpha$ 都不属于 $D$,即所有 $\beta<\alpha$ 满足 $\beta \in C$。

但这正是定理假设应用于 $\alpha$ 的情形:"对所有 $\beta<\alpha$ 都有 $\beta \in C$"蕴含 $\alpha \in C$。于是 $\alpha \in C$。

这与 $\alpha \in D$(即 $\alpha \notin C$)矛盾。此矛盾说明不存在这样的最小反例 $\alpha$,故 $D=\emptyset$:$C$ 包含所有序数。$\blacksquare$