反三角不等式

第一步 — 两次应用三角不等式。由(M3),$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$,整理得 $d(x,z) - d(y,z) \le d(x,y)$。在同一公理中交换 $x$ 与 $y$ 的角色,得 $d(y,z) \le d(y,x) + d(x,z) = d(x,y) + d(x,z)$(利用对称性 $d(y,x)=d(x,y)$),整理得 $d(y,z) - d(x,z) \le d(x,y)$,即 $-(d(x,z)-d(y,z)) \le d(x,y)$。

第二步 — 合并两个界。这两个不等式同时说明 $d(x,z)-d(y,z) \le d(x,y)$ 与 $-(d(x,z)-d(y,z)) \le d(x,y)$,根据绝对值的定义,这恰好就是命题 $|d(x,z)-d(y,z)| \le d(x,y)$:实数 $u$ 满足 $|u| \le c$ 当且仅当 $u \le c$ 与 $-u \le c$ 同时成立。