经典龙格库塔法的精度阶数

把每个阶段在$(t_n, y_n)$附近做泰勒展开。由于$k_1=f(t_n,y_n)=y'(t_n)$,而$k_2, k_3$是在中点用沿前一阶段方向偏移半步的$y_n$来计算$f$的,把$y'=f$、$y''=f_t+f_yf$、$y'''=f_{tt}+2f_{ty}f+f_{yy}f^2+f_y(f_t+f_yf)$的链式法则代入每个$k_i$,就得到关于$h$的四个多项式,它们与$y'(t_n), y''(t_n), y'''(t_n)$在每个阶段能看到的阶数内一致。

构造加权组合$\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$并乘以$h$,这个和中$h^1, h^2, h^3$与$h^4$的系数恰好就是泰勒展开$y(t_n+h) = y(t_n) + hy'(t_n) + \frac{h^2}{2}y''(t_n) + \frac{h^3}{6}y'''(t_n) + \frac{h^4}{24}y^{(4)}(t_n) + \cdots$中直到$h^4$项的系数——这正是RK4表的系数$c=(0,\frac12,\frac12,1)$和$b=(\frac16,\frac13,\frac13,\frac16)$被选定要满足的经典阶条件。

由于两个级数在$h^4$之前都一致,它们可能不同的第一项是$O(h^5)$项,因此每步的局部截断误差为$O(h^5)$。与欧拉的情形一样,利用$f$上的利普希茨条件,把这些局部误差在到达固定时刻所需的$n\approx (T-t_0)/h$步上累积起来,恰好损失$h$的一次幂,得到整体误差$O(h^4)$。