特殊情形 $k=3$:罗斯定理

第一步(用傅里叶方法计数数列)。假设 $A \subseteq \{1,\dots,N\}$ 密度为 $\delta$ 且不含任何非平凡三项数列。记 $\hat{1_A}(\theta) = \sum_{n \in A} e(\theta n)$ 为 $A$ 指示函数的傅里叶变换,三元组 $(x, x+r, x+2r) \in A^3$ 的个数可写成关于 $\theta$ 的 $\hat{1_A}(\theta)^2 \, \overline{\hat{1_A}(2\theta)}$ 的积分。

第二步(伪随机情形)。若 $1_A$ 的每个非零傅里叶系数相对 $\delta^2$ 都很小,则积分几乎完全由 $\theta = 0$ 项主导,这已经强制产生约 $\delta^3 N^2$ 个三元组——远多于平凡三元组——与 $A$ 不含此类三元组的假设矛盾。

第三步(密度递增)。因此必有某个非零系数很大;这意味着 $1_A$ 与线性相位 $e(\theta n)$ 相关,即 $A$ 在某个等差数列(或 Bohr 集)上明显偏聚。限制到该子数列上会得到一个更短的区间,其中 $A$ 的密度按固定乘法因子增大。

第四步(迭代与结论)。密度不可能超过1,因此经过有限多轮密度递增步骤后过程必须终止——这意味着第二步的伪随机情形最终被迫出现,从而产生缺失的三项数列,与不存在的假设矛盾。罗斯最初的估计给出形如 $N(3,\delta) \lesssim \exp(\exp(1/\delta))$ 的阈值;这一界经过数十年改进,凯利与梅卡在2023年的论证将其推进到接近贝伦德经典构造的密度 $N(3,\delta) \lesssim \exp\!\big(-c(\log N)^{1/12}\big) N$ 量级,几乎弥合了这一情形的差距。