和与差的平方

第一步(通过直接展开的代数证明)。两次使用分配律,$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$,因为 $a\cdot b$ 与 $b\cdot a$ 是同一个乘积被数了两次。

第二步(通过面积的几何证明)。画一个边长为 $a+b$ 的正方形。在离某个角距离 $a$ 处各画一条水平线和一条竖直线。这把大正方形分成四块:一个边长为 $a$ 的正方形(面积 $a^2$),一个边长为 $b$ 的正方形(面积 $b^2$),以及两个尺寸为 $a\times b$ 的矩形(每个面积为 $ab$)。把四块面积相加得到 $a^2+2ab+b^2$,由于这四块恰好拼成原来的正方形,这个和必须等于 $(a+b)^2$。

第三步(平方差版本,通过代换)。在第一个恒等式中把 $b$ 换成 $-b$,得到 $(a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2$,因此甚至不需要另一幅几何图——代数自动把结果转移过来。